Filozofická  škola

   KŘÍŽE a HVĚZDY.

HVĚZDY a KŘÍŽE

Objekty, které nás obklopují, provokují, přitahují i odpuzují, žijí mezi námi!

Motto: Dejte mi pevný bod ve Vesmíru a pohnu Zemí!

V této úvaze se nechci zabývat konkrétním tvarem, materiálem či užitím jednotlivých křížů a hvězd. Pouze se chci zamyslet nad oddělením a zatříděním těchto objektů z hlediska geometrického, respektive topologického.

Vágnost pojmů „hvězda“ nebo „kříž“ mne přivedla k pokusu definovat objekty, jimž přiřazujeme tyto „názvy“. Jak se například liší čtyřramenný kříž od čtyřcípé hvězdy? Je snad mezi nimi rozdíl v tom, že hvězda má ramena „do špičky“ a kříž je má tupá, „s ploškou“. V tomto pojetí bych se okamžitě dostal do sporu s těmi, kteří si „špičatost a tupost“ vysvětlují a představují poněkud jinak než já.

Prvním krokem tedy musí být vyjasnění geometrických (topologických) pojmů.

a) Hledisko prostorovosti .

Kříže a hvězdy můžeme vnímat buď jako objekty dvourozměrné nebo objekty trojrozměrné.

Dvou – rozměrnost značí, že celý objekt je možné zobrazit do plochy, přičemž vlastní „obraz objektu“ neuzavírá (netříští) trojrozměrný prostor. Jeho hranice tvoří výhradně hraniční objekty jednorozměrné, tedy čárové.

Troj – rozměrnost značí, že celý objekt nelze zobrazit pouze do plochy, přičemž vlastní „obraz objektu“ uzavírá (tříští) trojrozměrný prostor. Jeho hranice tvoří výhradně hraniční objekty dvourozměrné, tedy plošné.

Hledisko prostorovosti je definováno negací jedné rozměrnosti vůči druhé.

b) Hledisko násobnosti .

Toto hledisko je poněkud zavádějící, ale může nám posloužit k vyjasnění mezí, kdy se dá hovořit ještě o hvězdě nebo o kříži, a kdy už nikoliv.

Dvourozměrné objekty nechť tvoří čárové segmenty, trojrozměrné objekty plošné segmenty. Z výše řečeného tedy vyplývá, že segmenty dvourozměrných objektů jsou ohraničeny dvěma hraničními body, segmenty trojrozměrných objektů jsou ohraničeny hraniční cyklikou, prostou uzavřenou čarou.

Hraniční bod nepředstavuje téma k diskusi. Jde prostě o geometrický bod, který jediný může mít nezaměnitelnou IDENTITU a má všechny vlastnosti geometrických bodů, přičemž mocnost těchto dvou bodů jest jednotková.

Hraniční cykliky jednorozměrné i dvourozměrné představují velké téma k diskusi. Jde o čárové nebo plošné objekty, které trpí neduhy, jako jest velikost (poměrná), tvar (často obtížně definovatelný) a jiné. Nemají nezaměnitelnou IDENTITU a mají všechny vlastnosti geometrických čar nebo ploch.

Hledisko násobnosti u hvězd je velmi diskutabilní, u křížů je však za předem stanovených podmínek jednoznačné.

A nyní můžeme přistoupit k pokusu o definování pojmů „HVĚZDA“ a „KŘÍŽ“ z hlediska TOPOLOGIE.

HVĚZDA je takový geometrický objekt, u kterého hraniční objekty hraničních segmentů dokonale splynou a vytvoří jediný hraniční objekt hvězdy.

KŘÍŽ je takový geometrický objekt, u kterého část hraničních objektů hraničních segmentů dokonale splyne, jediný hraniční bod od každého segmentu splyne v „SRDCI kříže“ a zbylá část hraničních segmentů roztříští prostor v blízkém okolí SRDCE.

Takto napsané definice sice neutváří bezprostředně představu o těchto objektech, přesto jsou zatím nejobecnější formulací problému. Kříže na rozdíl od hvězd prostory neuzavírají, naopak dělí je, tříští je a otevírají parciální prostory. Jsou-li kříže definované jako konečné, pak vytvářejí kapsy v jednotném prostoru.

Minimální násobnost dvou – rozměrného kříže představují tři hraniční segmenty.

Minimální násobnost troj – rozměrného kříže představují čtyři hraniční segmenty.

c) Hledisko dostupnosti

Opět se jedná o hledisko, které je nutné nejprve osvětlit na jednoduchém příkladu.

Mějme hvězdu ve tvaru koule. Hraničním objektem této hvězdy je kulová plocha. Z jednoho bodu hraničního objektu se můžeme „hypoteticky“ přemístit do kteréhokoliv jiného bodu hraničního objektu, aniž bychom hraniční objekt opustili. Jsme-li však připoutáni k hraničnímu objektu (existuje určitá vazba k této hraniční ploše), nemůžeme se přemístit třeba do těžiště hvězdy, které nechť je uvnitř kulového objemu hvězdy. Neexistuje tedy cesta k přemístění bez opuštění hraničního objektu, je zde propast mezi těžištěm a hraniční plochou. Pokud ale tuto hvězdu rozřízneme natřikrát třemi různými rovinami procházejícími jejím těžištěm, vzniknou nám čtyři rovinné segmenty, které mají jediný společný bod (právě těžiště, jímž byly řezy vedeny), přičemž rovinné řezové segmenty tvoří trojrozměrný kříž. Na tomto topologickém objektu se lze z jednoho bodu hraničního objektu „hypoteticky“ přemístit do kteréhokoliv jiného bodu hraničního objektu (kříže), využívajíce všech hraničních objektů (plošných, čárových i bodových), tedy i „přes srdce kříže“. Připoutanost k hraničním objektům kříže nám neumožní přesunout se do kteréhokoliv bodu vymezeného prostoru, protože je zde propast. Dostupnost do kteréhokoliv bodu prostoru tedy umožní až spojení vlastností obou objektů, křížů a hvězd.

Hvězdy představují objekty s tenzí a růstem veličin ve směru tangenciálním .

Kříže představují objekty s tenzí a růstem veličin ve směru radiálním.

Speciální pravidelné hvězdy a kříže mohou vytvářet a také vytvářejí orientační systémy. V takovýchto geometrických (matematických) orientačních systémech se obvykle zavádí kvantifikace polohy objektů pomocí tzv. souřadnic. Souřadnice představuje poměr (číslo) odlehlostí orientujícího se subjektu k orientačním pilířům. V geometrii pak hovoříme o Geometrických Orientačních Bodech (GOB).

GOB dělíme na dva typy.

Prvním jsou GOB vlastní (dostupné). U těchto GOB můžeme prohlásit, že je „bezprostředně vidíme“ a umíme k nim změřit vzdálenost z místa, v němž se my nebo jiný subjekt (bod) právě nachází.

Druhým jsou GOB nevlastní (nedostupné). U těchto GOB říkáme, že je „bezprostředně nevidíme“ a neumíme k nim změřit vzdálenost z místa, v němž se my nebo jiný subjekt (bod) právě nachází. Jediné co o těchto GOB víme je to, že se nacházejí „tímto směrem“. Nepoznáváme je bezprostředně, ale zprostředkovaně. Například vektorem záření, místní siločárou apod. Obecně pak předpokládáme, že jejich souřadnice (číslo) – vzdálenost vzhledem ke sledovaným odlehlostem v orientační situaci – je obrovská, čímž se směrový vektor k nim při orientaci nemění.

Volba „kvality GOB“ pro orientaci pak rozhoduje o volbě Geometrického Orientačního Systému (GOS). Zásada pro orientaci v prostorech všeho druhu by měla být taková, že volíme Minimální Orientační Systém (MOS). Minimalita orientačních systémů značí pouze to, že v daném orientačním prostoru použijeme k orientaci pouze nezbytný počet Orientačních Bodů, jejichž počet je dán rozměrností prostoru. A tento počet je u geometrických prostorů pouze o jednotku větší než rozměrnost prostoru. Například k orientaci v jednorozměrném prostoru potřebujeme dva orientační body, ve dvourozměrném prostoru tři orientační body, ve trojrozměrném prostoru čtyři body. Pravdou zůstává, že i dnešní geometrie a matematika nepoužívá z praktických důvodů minimální orientační systémy, neboť zavedla pro souřadnice kromě parametru poměru ještě parametr polarity.

Současná matematická věda používá i geometrické orientační systémy, u nichž se mísí souřadnice různých kvalit (principiálních). Je tím myšlena skutečnost, že n–tici souřadnic tvoří společně úhly a délky. Takové orientační systémy bych nazval systémy nehomogenními. Minimální Homogenní Geometrické Orientační Systémy (MHGOS) pak vznikají jako všechny kombinace s opakováním dvou kvalit (vlastní versus nevlastní) GOB. Například v trojrozměrném geometrickém prostoru tyto MHGO Systémy mohou mít pět podob. Pokud vlastní OB označíme symbolem V a nevlastní N, pak dostáváme systémy: VVVV, VVVN, VVNN, VNNN, NNNN. Nejblíže dnes nejvíce frekventovanému (NNNNNN) je tedy polední zapsaný (NNNN).

Orientační systémy s výhradně nevlastními orientačními body nazývejme křížovými. Uplatňují se především v kartografii, matematické analýze a jinde, a používáme je proto, poněvadž odměřování souřadnic je principielně shodné a poměrně snadné, neboť zpravidla probíhá na obrazech nebo modelech lidem dostupné velikosti. Tyto souřadné systémy však vycházejí z pomocných odměrných hraničních objektů plošných, čárových nebo bodových. To ale znamená, že ve volném prostoru (na moři, na poušti nebo ve vesmíru) jsou prakticky nepoužitelné. Zde se uplatní především systémy s převahou vlastních orientačních bodů. Orientační systémy s výhradně vlastními orientačními body nazývejme hvězdnými. Takto je využíváno topologických hvězd a křížů k orientaci.

Ve fyzikálním (hmotném) světě mohou existovat jen geometricky trojrozměrné hvězdy. Dvourozměrné objekty nebo jednorozměrné objekty existují pouze ve světě idejí. Jen ve světě idejí tak existují i trojrozměrné kříže. Nevím, zda mi je rozuměno, ale hraniční objekty (segmenty) křížů mají nulovou tloušťku, a to není ve fyzikálním světě možné. Navíc prostor neuzavírají, ale naopak tříští.

Hvězdou je tedy každé trojrozměrné geometrické těleso zcela obecných tvarů, třeba i bizardních. Žádná dutina, ani jakýkoliv počet jejích výskytů na povrchu tělesa, nemění zatřídění těchto objektů mezi hvězdy. Hvězdami první třídy (úrovně, řady, stupně) jsou všechny geometrické objekty typu obecného mnohostěnu (polyedru) bez ohledu na konkávnost či konvexnost jejich hraničních segmentů, i bez ohledu na rovinnost nebo zakřivenost hraničních segmentů. Třídu (úroveň) hvězdy mění pouze počet průchozích otvorů. S každým otvorem tak přibývá jeden stupeň nebo úroveň hvězdného zatřídění. Například mnohostěn tvaru anuloidu je možné nazvat hvězdou druhé třídy. Zhotovením otvoru do anuloidu tak vzniká geometrická (topologická) hvězda třetí třídy, atd.

Množství poznatků o hvězdách i křížích závratně roste, jak postupně odkrýváme jejich tajemství. To však platí o poznání lidského ducha obecně. Nesmíme však ve vědění zachovávat anachronismy vycházející z tradice jen proto, že nějaká autorita jej do klasifikace problému zařadila. Takto například trojrozměrný latinský kříž, vytesaný z kamenného kvádru a postavený u cesty na paměť Kristova utrpení, není ve smyslu topologickém křížem, nýbrž zcela evidentně hvězdou první třídy (stupně). Nechci Vás však, milí čtenáři, nadále mást jiným používáním pojmů, než jak jste dosud byli zvyklí. Co však je důležité si říci?! Ve snaze domluvit se a pochopit jeden druhého je nezbytné, aby na počátku diskuse o čemkoliv se řečníci dohodli na pravidlech rozhovoru, vysvětlili si vzájemně individuální chápání obsahů nejfrekventovanějších používaných pojmů, a hlavně měli dobrou vůli chápat sdělení svého oponenta.

Říjen 2009 * a + © Josef JEŽEK

KAMENNÉ KŘÍŽE a KŘÍŽOVÉ KAMENY

z našeho kraje dokumentují rozmanitost objektů, které takto nazýváme. Topologicky všechny patří mezi hvězdy. Ono vlastně nezáleží na pojmenování, ale na tom, zda si rozumíme. Nelze však říkat, že to jsou smírčí kříže, protože smírčími je možné označit jen nepatrnou část z nich. Smírčí kříž musí mít záznam, listinu a příběh. Těch je v České republice pouze 5% z celkového množství cca 1400 těmto podobným objektům.

Asi se mnou budete souhlasit, že všechny kamenné kříže i křížové kameny, které se mi v našem kraji podařilo nalézt a vyfotografovat, jsou překrásné a tajuplné. Některé kamenné kříže jsou evidentně mladší data vzniku, což napovídá jejich tvar zakončení ramen (jetelové, zkosené a pod.), mnohdy nesou na sobě i letopočet vzniku nebo události, při níž byly usazeny (18. a 19. století). Zůstávají zde však kamenné kříže a křížové kameny, u nichž se "věk"obtížně určuje. A právě tyto mne fascinují. Z křížových kamenů je to onen "Pavlovský", nesoucí pozitiv templářského kříže, a potom "Starohuťský"kámen, mající na sobě letopočet 1203. Samozřejmě, že datum může být "podvrh" jako na "Zelenohorském či Kralovodvorském rukopise", ale zrovna mne nenapadá žádný důvod, proč by v tomto případě někdo chtěl zdůraznit stáří. Snad jen pro případ, že na tomto místě se v daném roce něco přihodilo a dodatečně se této události postavil pomník. Nápis se mi nepodařilo rozluštit."Znalci v oboru" říkají, že tyto artefakty se v naší zemi objevují nejdříve kolem patnáctého století, tedy po husitských válkách. Toto datum však spadá do období vlády Přemysla I. Otakara, tedy do slavné éry přemyslovské. A to už ve zdejším kraji byla kolonizace v plném proudu, prales mizel a stála města jako Humpolec nebo Smilův (Německý, Havlíčkův) Brod. Proč tedy ne příběhy. V Národním muzeu v Praze je uložen z náleziště Břízová křížový kámen dokonce z jedenáctého století, tedy minimálně o sto až dvě stě let starší. Proč tedy "náš" kámen by nemohl prolomit představy o stáří těchto objektů. 

    Chceme-li ale obdivovat skutečná díla věků, potom kamenné kříže v našem kraji jsou naprosto unikátní. Kdo někdy pracoval s žulou, ví, jak nejistý je výsledek při tesání volných ramen, zejména pak při představě nářadí, se kterým asi byly zhotovovány. Některé z nich mají patinu podobnou dílům starověku, ale i kdyby jim bylo "pouhých" pětset či sedmset let, jsou to poklady lidové tvořivosti. Některé jsou ještě přizdobeny rytířskou zbrojí, mečem, jiné "dvourozměrným" křížem, jako onen v záhlaví.  Přeji všem čtenářům příjemné pokochání minulostí mého rodného kraje. 

                                                                                                                                                    Říjen 2010                                      Josef JEŽEK               

Jsou také kamenné kříže, které vymezují geografickou polohu v politickém celku, jako je stát, království nebo hrabství. Ty z nich, které jsou uprostřed těchto ohraničených politických objektů nazýváme těžišťovými, neboť jsou v těžišti plošné mapy. Česká republika v současných hranicích  z roku 2010 se dost dobře kryje s hranicemi historického českého království z 19. století, přičemž jejich geografický střed (těžiště) bylo v rozpětí 150 let nalezeno třikrát vždy poblíž obce Číhošť na Ledečsku, a to s nepatrnými odchylkami. Dnes Vám nabízím obrazově skutečný střed České republiky označený dvěma lípami ve tvaru mozku s křížem uprostřed, který je exkluzivním  kamenickým uměleckým dílem.  

                                                                                                                                                   Březen 2011