Filozofická  škola

Nový blok - dvojitým kliknutím zde, zahájíte úpravu bloku...

I. ROČNÍK CYKLU Záhady a tajemství matematiky

____________________________________________________________________

Se zármutkem v srdci oznamujeme všem příbuzným, přátelům a známým, že nás navždy opustila naše drahá a milovaná VELKÁ FERMATOVA VĚTA Zemřela tak, jak žila, v tichosti a po dlouhé nemoci ve věku nedožitých 370ti let. S naší zesnulou se rozloučíme dne 13. 9. 2007 v obřadní síni Gymnázia v Ledči nad Sázavou v 16 hodin odpoledne Za květinové dary děkují pozůstalí: Matematický institut v Göttingenu, SRN Mezinárodní matematická unie, Oxford, GB Matematický institut univerzity Princenton, USA Akademie věd ČR, Matematický ústav Praha, CZ Jednota českých matematiků a fyziků, Praha, CZ Karlova univerzita, fakulta matematických věd, Praha, CZ Sdružení středoškolských učitelů matematiky České republiky, Praha, CZ Redakce časopisu Vesmír, Praha, CZ Integrovaná škola – Gymnázium, Ledeč nad Sázavou. CZ Filosofická škola Království ducha, Dolní Město, CZ _____________________________________________________________________

Smuteční řeč při té příležitosti pronesená: Drazí pozůstalí, vážení smuteční hosté! Myšlenky a ideje mají shodnou existenci jako lidské bytosti. Rodí se, žijí a umírají. Mělké a neduživé myšlenky záhy hynou, hluboké a zdravé žijí dlouho. Také matematické ideje mají svoje období plenek, svojí éru batolat, dětských nemocí i puberty. Jakmile jsou formulovány, objevují se domněnky jejich řešení, dospějí a stávají se hypotézami. Když však lidský rozum najde jejich zdůvodnění, důkaz, pak umírají a vstupují do paměti, na nebe idejí, do věčnosti. Dnes jsme se zde sešli proto, abychom se navždy rozloučili s naší milovanou slavnou matkou idejí, Velkou Fermatovou Hypotézou. Dovolte mi, abych v této tak těžké chvíli vzpoměl něco málo z jejího života. Narodila se ve starobylé francouzské šlechtické rodině, ve městě Toulous, v hlavě jednoho z jejích neslavnějších synů, Pierra de Fermata. Její otec, tehdy již známý královský soudce, jí zplodil na podzim roku 1637 ve své podkrovní pracovně ve chvíli, kdy si listoval novým francouzským překladem Diofantovy učebnice aritmetiky. Miloval jí hned od počátku tak moc, že si jí zapsal na okraj této učebnice, kroniky svých dětí. Zplodil před ní i po ní mnoho dalších myšlenek, ale žádná z nich nedosáhla za svého života takového věhlasu, jako právě zesnulá. Po mnoho staletí se jí říkalo Velká (Grosse, Grate) nebo Poslední (Last) Hypotéza, protože všechny ostatní jeho dcery již dávno zemřely. Tato hypotéza měla veselé dětství. Otec jí posílal v dopise ke svým přátelům, kde vždy pobyla a uhnízdila se na čas v hlavách těchto pánů a dam, aby se posléze zase vrátila posílená zkušeností, nadávkami, nenávistí a novými pohledy ke svému otci. Vzpomínala na dlouhodobý pobyt u strýčka Blaise Pascala, který si s ní hrál celé dlouhé roky. Poté, co otec Fermat a strýček Pascal zemřeli, musela chca nechca do světa. Na dlouhou dobu jí nechal pobývat ve své hlavě například velikán, slavný genius, matematický kyklop osmnáctého století, Leonhard Euler, v té době žijící v Petrohradě u dvora carevny Kateřiny první. Při své cestě světem jí ubytoval Isac Newton, Sophie Germainová, Lagrange, Kronecker a mnoho dalších. Gauss prý před ní zabouchl dveře, furiant jeden. V souboji na život a na smrt se o ni a odměnu 3000 francouzských franků utkali 1. března roku 1847 dva slavní rytíři: Gabriel Lamé a Augustin Louis Cauchy. Stala se předmětem zlosti, posměchu i nenávisti. Soudcem těchto pánů se stal známý vědec Ernest Kummer. Asi Vás nepřekvapí, že pobývala i na půdě zdejšího ústavu počátkem padesátých let dvacátého století. Byla tu ubytována na letním bytě v hlavě Jiřího Mrázka, sedícího v hvězdářské kopuli tohoto gymnázia. Život se jí výrazně změnil, až když prostřednictví svého mecenáše a advokáta Wolfskehla sepsala na Matematickém institutu v Göttingenu tato stará dáma roku 1908 poslední vůli. Potom ji všechny hlavy prosté i študované vítaly, hýčkaly a hrály si s ní jako pominuté a smyslů zbavené. Až posléze, znavená tím neupřímným zájmem o ni samotnou, ulehla na sedm let do hlavy mladého Brita rodem z Cambridge a naturalizovaného Američana Andrewa Wilese. V té době asistoval na univerzitě v Princetonu. Jemu nešlo o pozůstalost 100 000 německých marek, dávno dvěma světovými válkami zdevalvovaných. On ji chtěl prostě umožnit klidný a bezbolestný odchod z tohoto světa. Pokusil se o eutanazii. Podal ji léky od japonské firmy Tanijamo-Šimuro, Galoisovy grupy, eliptické křivky a další medikamenty. Nasadil také novou Kolivaginovu-Flachovu léčebnou metodu, ale věta upadla pouze do hlubokého komatu. Poprvé v roce 1993, podruhé v roce 1994 ohlásilo lékařské konsorcium exitus, ale tato houževnatá dáma žila až do minulého týdne. Dnes už víme jistě, že je konec jedné z největších myšlenek druhého tisíciletí. A tak jí popřejme klidný spánek na věčnosti, ať už na ní všichni studenti i páni profesoři matematiky vzpomínají pouze v dobrém. Čest její slavné památce! ____________________________________________________________________

VŠEM, VŠEM, VŠEM, které baví kreslit a malovat, které zajímají záhady a tajemství, kteří chtějí proniknout pod povrch fotografií, obrazů nebo map, se na vědomost dává, že jejich příležitost nastane v pátek dne 14. 12. 2007 ve 14.15 hodin v učebně biologie Ledečského gymnázia, Husovo náměstí 1 584 01 LEDEČ nad Sázavou Bližší informace se dozvíte na telefonním čísle: 605 411 320

___________________________________________________________________

ZÁZNAMY O ZNAMENÍCH A ZBYTCÍCH PO NICH

Chceš poznat souvislosti mezi jevy notoricky známými a samozřejmými? Pak přijď dne 21. 3. 2008 ve 14.15 hodin do učebny biologie Ledečského gymnázia, Husovo náměstí 1 584 01 LEDEČ nad Sázavou Bližší informace se dozvíš na telefonním čísle: 605 411 520 _____________________________________________________________________

SRDEČNĚ VÁS ZVEME NA PRVNÍ LETOŠNÍ PŘEDNÁŠKU II. ROČNÍKU CYKLU TAJEMSTVÍ A ZÁHADY MATEMATIKY, KTERÁ SE KONÁ VE SVĚTOVÉ PREMIÉŘE DNE 8. ŘÍJNA 2008 v 14.15 HODIN V učebně biologie NA GYMNÁZIU V LEDČI NAD SÁZAVOU S NÁZVEM VLNOVÁ TEORIE ČÍSLA PŘEDNÁŠKA SE DOPORUČUJE UČITELŮM EXAKTNÍCH VĚD, UČITELŮM MATEMATIKY VŠECH STUPŇŮ A STUDENTŮM STŘEDNÍCH ŠKOL, ABY VĚDĚLI VÍCE, NEŽ JEJICH KOLEGOVÉ A VRSTEVNÍCI ZE VŠECH KOUTŮ SVĚTA! Bližší informace na tel.: 605 411 320 ____________________________________________________________________

NA VĚDOMOST SE DÁVÁ, ŽE (MARNÁ SLÁVA) SOUVISLOST MEZI PLANETAMI A MAGIÍ ČÍSEL SE ODEHRÁVÁ! Kdo nevěří, ať tam běží! Kam? Do učebny biologie Které? Ledečského gymnázia¨ Kdy? 17. Prosince 2008 V kolik? Ve 14. 15 hodin Přijďte, uvidíte a uslyšíte! Dotazy: 605 411 320 _____________________________________________________________________

ŽIJÍ MEZI NÁMI A JSOU NESMRTELNÍ! POJĎME JE SPOLEČNĚ HLEDAT! Kdy a f kolik? 18. března 2009 ve 14.15 hodin Kde? Jako obvykle v posluchárně biologie Ledečského gymnázia Bližší informace 605 411 320

________________________________________________________________

III. ROČNÍK CYKLU Záhady a tajemství matematiky

_______________________________________________________________________

POZOR! Ztrácíte se ve velkých městech, v přírodě, v zákonech a vyhláškách, ve školním učivu? Pak zkuste nalézt systém, jak se co nejrychleji zorientovat. Přijdete-li ve 14.15 hodin dne 5 . 11. 2009 do posluchárny biologie ledečského gymnázia, dozvíte se jak na věc, aneb: UMÍME SE ORIENTOVAT V PROSTORU I V ŽIVOTĚ! Bližší informace 605 411 320

____________________________________________________________________

Srdečně zveme na přednášku o setkání s tajemnem nazvanou STOPY NÁVŠTĚVNÍKŮ Z KOSMU která se uskuteční 25 . března 2010 ve 14 hodin obligátně v posluchárně biologie Ledečského gymnázia. Dotazy na 605 411 320

_____________________________________________________________________

IV. ROČNÍK CYKLU

ZÁHADY A TAJEMSTVÍ MATEMATIKY

_________________________________________________________________________________________________________________

ČTYŘI BARVY STAČÍ!  Aneb Stvoříme Barevný Svět!

Kdy a kde?:  16. února 2011 v učebně biologie  Od 14.30 hodin   Na ledečském gymnáziu.  Informace na 605411320

SRDEČNĚ VÁS ZVEME NA TŘETÍ PŘEDNÁŠKU

IIII. ROČNÍKU CYKLU

TAJEMSTVÍ A ZÁHADY MATEMATIKY,

KTERÁ SE KONÁ,

JAK JINAK, NEŽ VE SVĚTOVÉ PREMIÉŘE

DNE 5. KVĚTNA 2011 v 15 HODIN V učebně biologie

NA GYMNÁZIU V LEDČI NAD SÁZAVOU

Tentokrát napínavý příběh

LOVCI   PEREL

PŘEDNÁŠKA SE DOPORUČUJE   

 UČITELŮM MATEMATIKY VŠECH STUPNĚ

A

 STUDENTŮM STŘEDNÍCH ŠKOL,

Bližší informace na tel.: 605 411 320

_______________________________________________________________________________________________________________________

          VĚTY

                  O pravoúhlém trojúhelníku

       Klasik by spíše řekl „Slova, slova, slova“ …. . , místo „věty, věty, věty“. Slova, která spolu nesouvisí a nesvazují myšlenky v celky, koncepty a projekty, jsou zbytečná, jsou to pouhé výkřiky a bláboly. Věty by měly být obsažné, ale minimalizované, dobře ořezané Ockhamovou břitvou. Zejména věty, které mají vypovídat o světě kolem nás. Věty matematické potom musí obsahovat pouze tolik slov, kolik jich je minimálně nutných, nezbytných, skutečně potřebných. Dnes bych se chtěl zabývat větami okolo „Pravoúhlých trojúhelníků“.

  Slovem „Trojúhelník“ definujeme část roviny, ohraničenou třemi úseky přímosti (úsečkami) zacyklených (vždy dva úseky mají jeden společný bod) ve třech bodech s názvem hrot (termín vrchol doporučuji rezervovat pro tzv. polyedry - mnohostěny). Trojúhelník je prvním polygonem – mnohoúhelníkem, menší neexistuje. Vztah dvou přímostí v rovině je nazýván „rovinným úhlem“ a nabývá hodnoty od nuly (splývají) do přímosti, značme symbolem Pí (π). Součet tří vnitřních úhlů v trojúhelníku představuje jednu Přímost. Nyní jen jde o to, jak se o tuto přímost „podělí“ tři vnitřní vztahy (úhly). Pokud spravedlivě, potom kolem každého hrotu najdeme jednu třetinu přímosti (stala se jednotkou pro měření vztahu dvou přímostí) – π/3. Trojúhelník je nazván „rovnostranným“ a je zcela jedinečným, tvarově jediným, neopakovatelným. Pokud jsou dva vztahy v trojúhelníku identické, potom jej nazýváme „rovnoramenným“, a má nekonečné množství tvarových podob. Jestliže je v trojúhelníku jeden ze tří vztahů onen „pravý“, s hodnotou poloviny přímosti (π/2), potom trojúhelník nazýváme pravoúhlým – ortogonálním. Takový trojúhelník nabývá nekonečného počtu tvarových podob. Je-li však zároveň rovnoramenným, pak existuje pouze jediný a vzácný exemplář. V terminologii trigonometrie (vědě o měření v trojúhelnících) se ještě setkáváme s pojmy „ostroúhlý“ (všechny tři vnitřní úhly jsou menší než π/2) a „tupoúhlý“ (jeden vnitřní úhel je větší než π/2).

   V tomto příspěvku se budu zabývat výhradně a pouze obecnými pravoúhlými trojúhelníky, které představují mezníky mezi ostroúhlými a tupoúhlými. Zajímají nás jejich specifické vlastnosti. Tyto trojúhelníky plní vehementně všechny učebnice matematiky, ale i fyziky a všech technických disciplín. Není divu, vždyť na nich je celého půl třetího tisíciletí postaveno veškeré technické dílo lidstva. Autorství prvních poznatků bylo přiřknuto Mílétské škole, vedené jistým Thaletem, a jejímu žáku, řeckému filosofu Pythagorovi. Přímé spojnice dvou hrotů nazýváme „stranami trojúhelníku“. „Rovnostranný“ má tedy všechny strany nejen rovné (přímé), ale především shodně dlouhé. „Rovnoramenný“ trojúhelník má dvě shodně dlouhé strany, které nazýváme „rameny“ a třetí stranu jiné délky nazýváme „základnou“. Tento trojúhelník připomíná tvarem sedlovou střechu domů. U obecných pravoúhlých trojúhelníků hovoříme o nejdelší straně jako o „přeponě“, která leží proti pravému vztahu (úhlu) ze dvou zbývajících stran, které nazýváme „odvěsnami“.  

                                        Věta THALETOVA:

   Všechny vztahy dvou přímostí, spojujících průsečíky kružnice s přímosti, procházející středem kružnice, s kterýmkoliv bodem kružnice, jsou pravé.  

Tento první krok v odhalování tajemství ortogonality byl zcela zásadní pro další vývoj matematiky. V té době zejména „geometrie“ – zeměměřičství. Kružnice a přímka jsou dva hlavní a základní geometrické „ideály“, v jejichž existenci musíme uvěřit. Nemají totiž fyzikální podobu. Jsou to pouhé ideje, čili něco, o čem se nemůžeme svými smysly přesvědčit, ale přijmout jen pouhou intuicí. Duchovní svět prostě nelze jinak, než vírou, pochopit. Rozdíl mezi kružnicí a přímkou, oběma jednorozměrnými světy, tkví v tom, že kružnici můžeme, při neomezeném zmenšení nebo neomezeném odstupu, „zahlédnout celou“. Přímku nelze nikdy zahlédnout celou. Kružnice je jednorozměrný prostor, jehož nejdůležitější vlastností je skutečnost, že se jeho křivost odměřuje od vlastního (konkrétního přítomného) bodu, jeho křivost je konstantní a celý prostor se vejde do jediné „roviny“. Rovina je další idea, v jejíž existenci musíme uvěřit. Při nulové křivosti prostoru – přímky – nemá tento prostor vlastní střed křivosti, nelze ani říci, kterým směrem by bylo možné jej hledat a může ležet v kterékoliv rovině. 

   Asi by někdo mohl říci, že ten správný směr, který ovlivňuje vlastnosti a cílení přímkového světa, vede po ortogonále k tomuto světu. Hlavní hybatel je tedy asi „tímto směrem“, ale je nepoznatelný, protože se může nacházet kdekoliv, napravo nebo nalevo, v celém nezakřiveném dvojrozměrném světě (rovině) kolmém na přímku. Už v tomto okamžiku vidíme, jak tajemný je ten náš Svět.  Pan Thalet si povšiml, že od průsečíku středové přímky (nazvěme jí horizontem, procházejícím středem kružnice) s kružnicí po obou stranách, je stejně daleko, jako od středu kružnice ke kterémukoliv bodu kružnice. Vždyť jsou to přece všechny body téže kružnice. A tak přímým spojením libovolného bodu kružnice s průsečíky horizontu s kružnicí, a také se středem kružnice, dostáváme dva rovnoramenné trojúhelníky. Jejich ramena mají délku poloměru kružnice a dvě z nich leží na téže přímosti (horizontu). Základny pak mají zpravidla různou délku. Výšky obou rovnoramenných trojúhelníky půlí v patách jejich základny a také půlí plochu těchto objektů, neboť jsou kolmé na základny. Co však je evidentní, výška je vždy souběžná (rovnoběžná) s jednou ze základen. Je–li mezi výškami těchto trojúhelníků ten pravý (ortogonální) vztah, potom i vztah mezi základnami je ortogonální. Tak vypadá důkaz pravdivosti Thaletovy věty.      

     Shrneme-li celý příběh, pak vidíme, že dva tvarově odlišné rovnoramenné trojúhelníky tvoří pomocí výšek vždy dva pravoúhlé trojúhelníky, všechny čtyři pak tvarově i velikostně shodné. Liší se pouze způsobem sesazení těchto pravoúhlých trojúhelníků. Plošně jsou shodné. Dále pak výšky, díky tomu, že jsou kolmé na základny a půlí je, představují osy stran vzniklého velkého pravoúhlého trojúhelníku, který má čtyřnásobnou plošnost oproti čtyřem, jemu podobným menším pravoúhlým trojúhelníkům ze kterých je sesazen. Obecné pravidlo pro všechny trojúhelníky říká, že tam, kde se protnou minimálně dvě osy stran trojúhelníku, tam se nachází střed kružnice trojúhelníku opsanému. To nám potvrzuje skutečnost, že střed původní kružnice je skutečně středem opsané kružnice, a že se nachází uprostřed nejdelší strany nazvané přepona, kde se výšky protnuly. Poněvadž výšky spojují vždy dva středy stran, pak platí obecný pojem pro takto vzniklé úsečky u každého obecného trojúhelníku. Jsou nazývány středními příčkami a jejich délka je poloviční vůči straně, se kterou jsou rovnoběžné. A skutečně, střední příčka spojující paty dvou výšek je polovinou přepony, neboli má délku poloměru kružnice opsané. Příběh také vypráví o tom, že plocha roste s druhou mocninou jediného délkového rozměru podobných plošných obrazců (objektů). Plochu pak nazýváme kvadrátem délky („čtvercem“), plošným objektům (zejména rovinným) říkáme kvadriky.  

                                    Věta PYTHAGOROVA

                                  Výška nad přeponou dělí trojúhelník na dva jemu podobné.

     Devět slov stačí na vyjádření podstaty této základní matematické věty. Trojúhelník jsem se pokusil definovat na počátku. Že se jedná o pravoúhlý je zřejmé ze zmínky o „přeponě“, neboť jiný trojúhelník stranu toho jména nemá. Výška obecně je kolmá úsečka na jednu stranu trojúhelníku, v tomto případě definovanou jako přepona. Tato úsečka dělí stávající plochu trojúhelníku na dvě menší plochy, v součtu dávající přirozeně mohutnost původní. Dělení ale probíhá tak, že vzniklé objekty (dceřiné) jsou podobné objektu původnímu (mateřskému). Podobnost je založena na odpovídajících délkách. Mateřský objekt definovaný pravým úhlem ležícím proti přeponě se rozpadá na dva pravoúhlé trojúhelníky s přeponami o délkách odvěsen mateřského trojúhelníku. Poněvadž dochází k rozpadu plochy, i potomstvo musí být plochami, a proto charakteristické délky musí do rovnosti vstupovat ve tvaru kvadriky, druhé mocniny. Jsou-li délky stran pravoúhlého trojúhelníku označeny symbolicky a, b, c, kde c je délka přepony mateřského (původního) trojúhelníku, potom rovnost ploch má podobu:    

                                                                           c² = a² + b²

     A toto je ústřední myš Lenka pana Pythagora. Pokud bude plošný objekt definován jediným délkovým parametrem, označme jej c, potom tomuto objektu podobné dva objekty, definované délkovými parametry a i b budou mít v součtu plošnost původního objektu. Tvar v tomto případě nehraje žádnou roli. Věta Pythagorova je postavena na jevu, jemuž říkáme podobnost, a v takovém případě není důležitý obrys (hranice) plošných útvarů. Podle výše uvedeného vzorce (nástroje) můžeme plochy zvětšovat nebo zmenšovat, sčítat a odčítat, jedním slovem kouzlit. Musí si však být podobné!

   V průběhu staletí se stal nejoblíbenějším plošným útvarem čtverec, a proto se ve školách Pythagorův princip podobnosti vysvětluje právě na čtvercích. Ale tady se vytrácí názornost, která je na úkor hlubšího pochopení principu. Při nástupu algebry se dokonce ukázalo, že Pythagorovu myšlenku (větu) můžeme srozumitelněji dokumentovat součtem dvou tvarově nepodobných kvadrik, jako je například součet čtverce s obdélníkem, nebo čtverce s trojúhelníky. A tak si o těchto otázkách něco povězme.

   Mějme čtverec o straně a. Potom jeho plocha je a². Chceme-li tento čtverec zvětšit o určitou plochu (kvadriku) tak, abychom dostali čtverec o straně c s plochou c², potom musíme k němu přidat ze dvou stran („přilepit“) obdélník o rozměrech (c – a).(c + a), který se na jednom původním hrotu zlomil a vypadá jako „bumerang“. Tento Bumerang označme písmenem B a jeho plochu B = b². Pro výslednou plochu nového čtverce pak platí uvedený vztah: c² = a² + b². Toto je názorná (evidentní) metoda vzniku jednoho čtverce z jiného. Stejný postup je možné uplatnit pro zmenšení původního čtverce c² oříznutím na jeho dvou stranách pruhem o šířce (c – a) v délce (c + a). Potom a² = c² – b². Součet dvou kvadrik, a to čtverce s obdélníkem, představuje základní algebraický školský model pro Pythagorovu myšlenku.

    Mějme čtverec o straně složené ze dvou různých úseků, například a; b. Potom jeho plocha je (a+b)². Jestliže tomuto čtverci ořízneme čtyři rohy tak, že spojíme spojovací body mezi úseky a, b, potom dostaneme opět čtverec, menší, jehož stranu označme například písmenem c. Tento oříznutý čtverec má plochu c². Napíšeme-li bilanci plochy pro nový čtverec, pak dostáváme: Původní čtverec mínus čtyři odřezky (a . b / 2) dá plochu nového čtverce.

                                                              (a + b)² – 4 x (a . b / 2) = c²

Což představuje:                                    a² + 2.a.b + b² – 2.a.b = c² 

A po úpravě:                                                                 a² + b²  = c² 

    Tento model Pythagorovy myšlenky postrádá názornost a připomíná uměle zkonstruovaný geometrický objekt k popisu algebraického vztahu. Existují i další umělé geometrické objekty, na nichž se autoři pokouší realizovat myšlenky součtů čtverců.

                                        Věty EUKLIDOVY

    Pár století po Thaletovi a Pythagorovi se narodil Řek, který měl takovou uklízecí mánii. Bál se totiž, že se v tom rostoucím a nepřehledném světě informací ztratí ty největší duchovní perly, a tak je začal sbírat, urovnávat do škatulek a skříněk, kterým dneska říkáme knihy či encyklopedie. Pochopil, že Pravdy matematické jsou Pravdami Božími, a že se tak s nimi také musí zacházet. Sepsal třináct knih o matematice (základy - stoia), aby ho později napodobovali mudrci i v jiných oblastech poznání. Starý Zákon biblický je uspořádán hnedle do tři krát třinácti knih. V jeho době byly Athénské školy už za zenitem, protože se hlavní proud moudrosti přesunul na několik staletí do egyptské Alexandrie. Vždyť Egypt už byl pokladnicí vědění dva až tři tisíce let, a Thalet i Pythagora tam byli na studiích. Euklides nejprve musel formulovat nějaké „desatero“ pro správné myšlení, dedukování a formulování toho, co je nezpochybnitelné. My v dnešní éře naprosté relativizace čehokoliv se nemáme čeho chytit. Jeho axiomatickou soustavu tvořilo pět zdánlivě evidentních pravd (axiomů), o kterých se nedá diskutovat a musí se přijmout bez výhrad. Zase se vracím k otázce víry. Pokud nebudu věřit, že existuje cosi jako geometrický bod, přímost, rovinnost, rovnost, homogenita a jiné možné kvality (vlastnosti) našeho světa, potom se ničeho nedoberu a nemám ani slovní aparát na to, abych tyto vlastnosti negoval (například křivost, nerovnost apod.), protože zřejmě nebyly ještě objeveny.  A tak například první dogma Euklidovo zní: „Dvěma různými geometrickými body prochází jediná přímka“. Nikdo se nad tím dvě tisíciletí nepozastavoval, ale dneska už to prý nemusí být pravda. Pravda už není tou starou dobrou pravdou, ale je prý relativní. Lež se zaměňuje za nepravdu. Nechme ale tyto spekulace politikům, a podívejme se na věty, které vyslovil pan Euklides.

    Jak si rovnal myšlenky a studoval práce z Mílétské školy, přišel k názoru, že výška nad přeponou (v pravoúhlém trojúhelníku) skutečně dělí tento trojúhelník na dvě různě velké podobné části. Pokud na této přeponě zobrazil čtverec, potom prodloužená výška rozdělila zakreslený čtverec na dva obdélníky, jejichž součtová plocha dává právě plochu čtverce nad přeponou. Ale vždyť tato plocha také odpovídá plochám čtverců sestrojených nad odvěsnami. A není náhodou poměr ploch těchto obdélníků v poměru úseků přepony, tak jak jí rozdělila pata výšky. Čtvercová plocha nad přeponou c² se přece rozpadla na obdélníky stejné délky c a různých šířek, Úseky přepony označme c₁ a c₂.  Zapišme si tuto skutečnost:

                                        c² = c₁ . c + c₂ . c = c . (c₁ + c₂) = c . c = c²                                               

Trefa do černého. Zdá se, že mu ta „náhoda“ vyšla. Teď jenom přeznačit a přiřadit po novu ty dva obdélníky:   c₁ . c = a²    a   c₂ . c  = b².  Výsledek:

                                                                 c² = a² + b²

 neodporuje Pythagorově větě. Tuto větu nazvěme první větou Euklidovou.

   Nu což, jestliže úseky na přeponě jsou v proporci ke čtvercům nad odvěsnami, jaký je potom jejich vztah k délce výšky, která je vytváří? Protože podle pana Pythagora výška dělí původní na dva jemu podobné, potom poměry v těchto nových trojúhelnících musí být shodné. Poměr délky jednoho úseku přepony k výšce je přece stejný jako výšky ku druhému úseku přepony. Tuto pravdu můžeme zapsat dvěma poměry nebo zlomkem:

                          c₁ : v  =  v : c₂  resp.     c₁/v  =  v/c₂    má také podobu    v² = c₁ . c₂

    Po úpravě rovnice zjišťujeme, že plocha čtverce nad výškou je rovna ploše obdélníku vytvořeného z úseků přepony. Tuto pravdu nazvěme druhou větou Euklidovou. Rekapitulujme Euklidův přínos.

    Ukázal nám, jak rozložit čtverec (transformovat) na dva různé obdélníky společné délky a naopak, ze dvou různých obdélníků jednoho shodného rozměru vytvořit čtverec. Druhou větou ukázal, jak lze transformovat obdélník na jeden čtverec, a čtverec změnit na jediný obdélník. Změna obdélníku na čtverec se v matematice označuje za hledání střední geometrické hodnoty z velikostí c₁ a c₂, jako √v².  To má velkou odezvu v oborech, jako je statistika.

                                         Věty JEŽKOVY

   Uplynulo více jak dva tisíce let, a přišel na svět Pepík, který podobně jako Euklides, rád uklízel, rovnal duchovní poklady minulých věků a svoje poznatky a myšlenky zapisoval, i když všichni tvrdili, že je to zbytečná ztráta času a marná práce. Všechno už přece bylo vynalezeno. On ale těm řečem nevěřil a říkal: Možná ano, ale co když naši předci přece jen něco přehlédli. A zdá se mu, že je dobré se na problém dívat znovu a znovu, nezatížen řečmi a neopisovat.

     Netyje z práce druhých a na všechno si chce přijít sám, jako Saturnin, když mu bylo třináct let: „Už mi nic neříkejte o Thaletovi, Eudoxovi, Euklidovi, ale raději mi dejte tužku, papír a kružítko, na všechno si přijdu sám“. To vždy bylo mottem Pepy a nyní před vás předstupuje se svojí větou.

    Pan Pythagoras i pan Euklides odhalili úžasná tajemství Mesiáše, kterým nazývám Pravý vztah mezi přímostmi, polovinu Božství, přímosti, Světla. Na něm byla zbudována moderní evropská filosofie, věda i křesťanství. V počátcích evropské vzdělanosti, jak asi většina z vás tuší, dominovala geometrie pro svoji vizualizaci a zdání zřejmosti. Ale vždy varuji před ukvapenými názory z toho, co vidíme, nebo se nám zdá, že vidíme. Může jít o pouhý klam. V tomto je abstraktnější část matematiky, aritmetika, potažmo algebra, opatrnější. Tolik si nedomýšlí a její dogmata i axiomy se jeví jako bezesporná, pokud do ní nezatahujeme pojmy jako nekonečno apod.    

     Do pravoúhlého trojúhelníku vstoupily vztahy v ryzí podobě čísel. To značí, že jejich kvantifikace je přirozená nutnost a potřeba, jak o nich hovořit. Na této základně vyrostly „goniometrické funkce“, které představují vztahy mezi odvěsnami (tg, cotg), mezi odvěsnou a přeponou (sin, cos), a mnohé další. Není přitom vůbec důležitá absolutní velikost (délek, ploch, objemů atd.), ale jen vztahy mezi nimi. Zmíněné goniometrické funkce se tváří, že popíší bezezbytku jakýkoliv pravoúhlý trojúhelník. A tak nám vznikají trojúhelníky, jejichž podoba je vyjádřena iracionálními poměry. Chyběla mi jednoznačná a srozumitelná klasifikace tvaru. A k tomu se nejlépe hodí přirozená čísla.

     Původní (mateřský) trojúhelník opatřený výškou nad přeponou použijme k další rozvaze o tvaru. Výškou mateřského totiž byly zplozeny dva dceřiné trojúhelníky. Tyto opatřeme jejich vlastními výškami nad přeponami, dříve odvěsnami a, b. Výšky jsou přirozeně kolmé na své přepony, vystupují z paty mateřské přepony, a svými patami dělí dceřiné přepony na vlastní úseky. Přiřaďme jim příslušnou symboliku. Přepona (odvěsna) a se rozpadá na úseky a₁, a₂, přepona (odvěsna) b se rozpadá na úseky b₁, b₂. Tuto symboliku vnímejme tak, že úseky a₁ a b₁ jsou ty, které jsou v bezprostředním kontaktu, to znamená, svírají spolu pravý úhel. Úseky a₂ a b₂ jsou odlehlé od pravého hrotu. 

     Z podobnosti pravoúhlých trojúhelníků, kterých nalézáme na obraze celkem šest, můžeme psát následující poměry (I):

                                                b/a = (b₁ + b₂) / (a₁ + a₂) = a₁/b₁= b₂/a₁ = b₁/a₂                             (I)

   Parametry a₁, a₂, b₁, b₂ mohou nabývat pouze racionálních hodnot, nerozumné (iracionální) nepřipadají v úvahu, neboť jeden nerozumný vztah neumožní vytvoření druhého shodného nerozumného vztahu. Kromě toho, že nerozumnost nelze popsat jednoznačně číselně bez zápisu neprovedených operací, pak naše parametry nabývají přirozených hodnot. Iracionální parametr nevymyslíme, může vzniknout pouze z odmocnin racionálních čísel. Poměry ve vztahu (I) lze vnímat jako jedinou tangentu racionálního argumentu (vztahu, úhlu). Přirozeně se ve všech šesti trojúhelnících mohou napsat převrácené poměry odvěsen (úseků), které budou vyjadřovat tangentu argumentu (úhlu) druhého.

      Odstraněním zlomků (vynásobením jmenovateli) se v rovnostech objeví součin (ortogonalita) dvou délkových parametrů, tedy kvadrika, plocha. Pokud se mezi sebou vynásobí úseky téže odvěsny (přepony), pak potvrzujeme druhou Euklidovu větu o přeměně obdélníku ve čtverec a naopak (II). Například:

                                                         a₁ . a₂ = b₁²      nebo  b₁ . b₂ = a₁²                                        (II)

    Součin úseků (a₁;b₁) pravého vztahu, respektive dceřiných výšek (v_b ; v_a), nebo délek odvěsen (a; b), vyjádřených minimálním poměrem přirozených čísel N₁ a N₂, nazvěme TVAROVÝM číslem pravoúhlého trojúhelníku (III).

                                               N =  a₁ . b₁ = v_b . v_a = a . b = N₁ . N₂                     (III)                                                         

  Z rovnosti poměru parametrů podle vztahu (I) můžeme napsat Transformační formuli (IV), která ukazuje jednoznačnou přeměnu jednoho obdélníku v druhý. Sledujme zápis dvou příbuzných či spřízněných obdélníků (O₁ = O₂).

                                                  O₁ =   a₁ . b₁ = a₂ . b₂ = O₂                                  (IV)

     Úžasná na všech transformačních formulích (větách níže uvedených) je skutečnost, že pravoúhlý trojúhelník je strojem na přeměnu jednoho tvaru v druhý, při zachování téže mohutnosti (plošnosti). 

    Pythagorova věta je ukázkou toho, jak ze dvou čtverců lze udělat jeden, mající mohutnost (plošnost) odpovídající dvěma do stroje vstupujícím. Nebo také takové transformace, kdy ke čtverci přidáme obdélník a vznikne čtverec o jejich součtové mohutnosti. Můžeme ještě také původní čtverec ořezat čtyřbřitou frézou (Ockhamovou), resp. čtyřmi shodnými pravoúhlými trojúhelníky, a získat tak čtverec zmenšený o plošnost těchto čtyř trojúhelníků.

    První Euklidova věta je ukázkou toho, jak lze tímto strojem vyrobit ze čtverce dva obdélníky s jedním společným rozměrem (délkou). Zato Druhá Euklidova věta říká, že tento stroj umí přetvořit obdélník na čtverec a naopak čtverec zase na obdélník.

    První Ježkova věta říká, že je možné tímto strojem přetvořit jeden obdélník na obdélník jiného tvaru (proporcí) při zachování původní mohutnosti. Druhá Ježkova věta říká, že tvar stroje (pravoúhlého trojúhelníku – OrthoTriGonu) je možné vyjádřit jediným přirozeným (tvarovým) číslem N (OTG N).  

    Ukažme si na několika příkladech. Jestliže máme charakteristický obdélník, tvořený oběma dceřinými výškami v poměru délek 1:1, potom se nejedná o obdélník, ale o čtverec, a pravoúhlý trojúhelník je rovnoramenný. Jeho tvarové číslo N je rovno jedné, protože 1x1=1. Pokud charakteristický obdélník má délky stran (výšek) v poměru 1:2, potom tvarové číslo trojúhelníku je N=2, neboť platí 1x2=2. Pokud charakteristický obdélník má délky stran v poměru 1:n, potom tvarové číslo trojúhelníku je N=n. Má-li charakteristický obdélník délky stran v poměru 2:3, potom tvarové číslo trojúhelníku je N=6, neboť platí 2x3=6. Pokud charakteristický obdélník má délky stran v poměru 3:4, potom jeho charakteristické číslo N má hodnotu rovnou dvanácti, neboť platí 3x4=12. A takto bychom mohli pokračovat do nekonečna.

     Nyní vyvstává otázka, jaké jsou poměry délek jednotlivých úseků na odvěsnách stroje. Jednoznačným pomocníkem zde je „krychle moudrosti“, čili třetí mocnina tvarového čísla. Kubatura úseků tvarového čísla představuje exponenciální vztah mezi těmito úseky, a jejich vzájemné přirozené poměry kopírují přelévání exponentů. Jakási obdoba binomického rozvoje úseků třetí úrovně (a+b)³, ovšem pouze s třetinovým počtem variací vnitřních členů, s jednotkovým kombinačním číslem.  Příklad:

     Pro poměr délek úseků odvěsen jsme použili délkové parametry a₂, a₁, b₁, b₂. Tak vypadá obecné geometrické vyjádření první Ježkovy věty. Chceme-li do ní zasadit i druhou Ježkovu větu, potom použijme pro délkové parametry vyjádření číselné, a to pomocí přirozených čísel: a₁=N₁ ; b₁=N₂. Potom exponenciální tvar rozvoje je následující:

                                a₂            :            b₁             :            a₁              :           b₂

                            N₁³ . N₂⁰  :       N₁² . N₂¹     :       N₁¹ . N₂²      :      N₁⁰. N₂³

                                 N₁³      :        N₁² . N₂¹     :       N₁¹ . N₂²     :            N₂³

    Dle první věty platí, že součin vnějších poměrů se musí rovnat součinu vnitřních poměrů.    Pišme:                         N₁³ . N₂³   = N₁² . N₂¹ .  N₁¹ . N₂²  = (N₁.N₂)³   

Napišme několik prvních příkladů v poměrech úseků pro konkrétní tvar OTG N    

OTG N                  a₂         :        b₁         :       a₁         :        b₂                     

OTG 1                   1         :         1         :        1         :        1

OTG 2                   1         :         2         :        4         :        8

OTG 3                   1         :         3         :        9         :       27

OTG 4                   1         :         4         :       16        :       64

OTG 6                   8         :        12        :       18        :       27

OTG 10                 8         :        20        :       50        :      125

OTG 12                27        :        36        :       48        :       64

      Na výše uvedených příkladech je možné zkoumat, kolik jednotek mají transformované obdélníky. Například trojúhelník s charakteristickým číslem 10 vytvoří dva obdélníky o mohutnosti O_1,2=10³=1000. První má rozměry 50 x 20, (charakteristický), druhý (transformovaný) má rozměry 125 x 8.

     Důsledkem první Ježkovy věty je i skutečnost, že čtverec nad přeponou mateřského trojúhelníku se může rozpadnout na čtyři čtverce různé velikosti a dva páry dvou různých obdélníků. Geometricky však představuje pouze jediný pár spřátelených obdélníků. Aritmeticky však existuje pro každý trojúhelník celá rodina obdélníků stejné mohutnosti. Například k OTG12 lze přiřadit následující obdélníky téže mohutnosti, ale různého tvaru. Tvar se nachází v závorce.

1x1728; 2x864 (1x432); 3x576 (1x192); 4x432 (1x108); 6x288 (1x48); 8x216 (1x27); 9x192 (3x64); 12x144 (1x12); 16x108 (4x27); 18x96 (3x16); 24x72 (1x3); 27x64; 32x54 (16x27); 36x48 (3x4); Tučně zapsané jsou geometricky transformované, spřátelené. Tvar obdélníků je vždy dán dvěma přirozenými čísly. Buď jsou obě čísla lichá, nebo jedno je liché a druhé sudé. Jsou-li obě přirozená tvarová čísla obdélníku lichá, potom obdélník nazýváme iracionálním (nerozumným), neboť jeho úhlopříčka (přepona trojúhelníku) není nikdy souměřitelná s jeho stranami. Je-li jedno sudé a druhé liché, potom je určitá naděje, že strany budou souměřitelné s úhlopříčkou, tudíž že obdélník bude racionální. Pravděpodobnost však není nijak veliká. Jediný z širší rodiny obdélníků výše napsaných je rozumný, a to ten s tvarovým číslem 12 (3:4). Jeho úhlopříčku představuje přirozené číslo 5 s geometrickou délkou 60 jednotek. 

    Třetí Ježkova věta představuje syntézu věty Thaletovy s Pythagorovou. Nepracuje s tvarem obdélníků a čtverců, ale vychází z nich. Víra v to, že takové objekty skutečně existují, je nezbytným předpokladem. Pythagorova a Thaletovy věty jejich existenci bez důkazů předpokládají. To, že lomená cyklika (uzavřená lomená čára s třemi úseky přímosti) jménem trojúhelník leží, a sama o sobě definuje objekt zvaný rovina, se zdá být evidentní, protože neumíme vytvořit logickou negaci této skutečnosti. Lomená cyklika se čtyřmi úseky přímosti může výjimečně ležet v rovině, ale s větší pravděpodobností bude prostorovou cyklikou. Když se povede to, že v jedné rovině budou ležet všechny čtyři přímé úseky, potom mluvíme o rovinném polygonu s obecným názvem čtyřúhelník a s konkrétními názvy čtverec, obdélník, kosočtverec, kosodélník, lichoběžník apod. Ke svým úvahám si vyberme obdélník.

     Obdélník je část roviny, ohraničená cyklikou, tvořenou dvěma páry různě dlouhých přímých úseků, pravidelně se střídajících, přičemž dva sousední jsou vzájemně v pravém (kolmém) vztahu. Na cyklice se vyskytují čtyři zlomové body s názvem hroty a jsou koncovými body dvou úseků přímosti (úseček), které jsou vždy ve vztahu (úhlu) pravém a nazývají se stranami obdélníku.  Jestliže kterýkoliv bod libovolné strany, včetně zlomového, spojíme přímostí s hroty protilehlé strany, rozpůlíme mohutnost (plošnost) tohoto obdélníku ve tvar dvou nebo tří trojúhelníků. To je zcela evidentní.  

    Pokud na delší straně obdélníka najdeme její střed, můžeme nad touto stranou opsat kružnici (je definovaná jako rovinná křivka s konstantní křivostí) se středem právě ve středu delší strany. Obdélník však musí mít pro naši potřebu určité omezení. Jeho kratší strana musí být větší než nulová a menší nebo rovna polovině strany delší. Tam, kde kružnice protíná protilehlou stranu obdélníku ve dvou bodech nebo se jí dotýká, můžeme nalézt dva (jeden) pravé vztahy přímých spojnic s hroty původní delší strany (Thalet).

     Dvě přímé spojnice kteréhokoliv bodu (různého od hrotu) protilehlé strany obdélníku se dvěma hroty základové strany dělí plochu obdélníku na tři podobné trojúhelníky. Dva vně pravoúhlých spojnic mají shodnou plochu jako trojúhelník pod spojnicemi. Podobnost trojúhelníků spočívá v tom, že všechny tři jsou pravoúhlé a shodné jsou i jejich zbývající dva vnitřní vztahy (úhly). Trojúhelník jako první kvadrika (plocha polygonu) plně a přesvědčivě (evidentně) potvrzuje Pythagorovu tezi o rovnosti ploch nad odvěsnami největšího ze tří pravoúhlých trojúhelníků a plochou tohoto trojúhelníku.  

Třetí věta Ježkova neporovnává vzájemně plochy čtyřúhelníkové (čtvercové nebo obdélníkové), ale plochy trojúhelníkové. Nejjednodušší tvarová podoba Pythagorovy věty je tedy o součtu ploch trojúhelníků.                      

   Celá matematika (geometrie, aritmetika, algebra, topologie a další její podobory) je jenom o vztazích mezi entitami (body, čísly, prvky), podobně jako lidské soužití je o vztazích mezi lidmi. Končící povídání je o vztahu dvou přímostí, kdy stačí, aby jediný vztah byl ten pravý, a potom zásadně ovlivní všechny vztahy okolo sebe. Já vím, slovo vztah je nám tak cizí v mnoha oborech, ale jak jinak definovat třeba rovinný úhel. Je to vztah dvou přímostí, které se v jednom okamžiku setkaly, protnuly. Bez setkávání se nevytvoří vztahy. Nejlepší když setkání je fyzické v přítomném prostoru a přítomném čase.    

                                    A to zatím už o pravoúhlých trojúhelnících stačí!